承上文，我们应用简单的Fulop模型对平行平面结进行了分析，对复杂的Chynoweth模型进行了化简，由化简的公式可得碰撞电离率积分和外加电压之间存在一定的关系。

这一关系通常可以用Miller公式^[38]表征，即：

其中的I为碰撞电离率积分，V为外加电压，V_B为结的击穿电压，S为Miller常数。

在设计器件时，耐压设计是很重要的一环。这关系到耐压区掺杂，厚度等一系列问题。Miller公式可以用于判断开基区晶体管或Shockley二极管的正向阻断电压。Miller公式中S参数与掺杂浓度存在着密切关系。

此次，我们将基于已有的Miller公式，应用MATLAB对不同漂移区掺杂浓度下的S参数进行确定，提出参数S与漂移区掺杂浓度N的拟合公式，并验证其准确性。

此处依然采用MEDICI中的准确的Chynoweth模型对碰撞电离率积分进行提取：

由于随着外加电压的增大，a_n,ii和a_p,ii的变化趋势和大小相差很小，假设电子与空穴的碰撞电离率近似相等。

因此碰撞电离积分可表示为：

当电压达到雪崩击穿电压时，电流急剧上升，势垒区流出的载流子电流远远大于流进的载流子电流，二者的比值称为雪崩倍增因子，用符号M来表示。

经计算M与碰撞电离率之间关系为：

当发生雪崩击穿时，M趋向于无穷大，则I等于1，即碰撞电离率积分等于1时的外加电压就是所谓的雪崩击穿电压V_B。此时势垒区对应的最大电场为击穿电场E_c。

可以采用extract语句在MEDICI对碰撞电离率积分进行提取。

在对P⁺N结构仿真中，先将P区浓度固定为1×10¹⁸ cm^-3，N区浓度为5×10¹⁵cm^-3，P区长度设为20μm，N区长度如图1所示保证为非穿通型即可。

然后对PN结施加反向电压V_KA，当碰撞电离率积分达到1时，对应的雪崩击穿电压V_B为85.2 V。碰撞电离率积分伴随着外加电压的增大而增大。

对于S值，可以将碰撞电离率积分与外加电压在MATLAB中应用I1 = (V/85.2)^S进行数据拟合得到为6.118。

为了验证拟合的准确性，将S与VB两个常数带入到3-16中得到I1 = (V/85.2)^6.118，分别做出了I₁-V曲线图与I₂-V曲线图。I₁-V是通过拟合得到的Miller公式中碰撞电离率积分与外加电压的关系曲线，I₂-V是由MEDICI直接提取出来的碰撞电离率积分与外加电压的关系曲线。

结果下图1所示：

从图1中可以看出拟合出的碰撞电离率积分与外加电压的关系曲线（红色曲线）与提取出的碰撞电离率积分与外加电压关系曲线图（黑色曲线）几乎完全重合。

经计算，其最大误差为0.23 %，证明了通过这种拟合方法得到的S参数值是可靠的。这一误差可能来自S参数的单一取值，因为S参数会随外加偏压的变化而变化，当电压较小时S比较小，偏压增大时S也增大，所以反向电压接近击穿电压V_B时，电流的增长是极为迅速的。

S参数还和掺杂浓度的大小密切相关，虽然上面的拟合方式存在误差，但准确性是可以接受的。为了得到S参数与掺杂浓度的关系式，可以采用相同的仿真方法，P区浓度不变，N区浓度从4×100¹³ cm^-3到9×10¹⁵ cm^-3依次增大，得到在不同N区掺杂浓度下的雪崩击穿电压V^B和对应的S值。

具体结果如表1所示：

从表1中可以看出随着N区掺杂浓度的变大，击穿电压和S值逐步下降。

做出S-N关系曲线，推测S参数与掺杂浓度N之间存在幂函数的关系。因此分别采用s=a×N_b和s=a×N_b+c对S-N进行MATLAB拟合。

得到了如下两个关系式：

(5)

对于这两个近似公式的准确性，分别做出S-N, S₁-N和S₂-N三条曲线。

其中S-N是基于Miller公式提取出来的S与N的关系曲线，S₁-N和S₂-N是分别采用式4与5得到的S与N的关系曲线，如图2所示。从图2中可以看出上面两式拟合出的曲线与真实曲线基本重合，经计算4式的最大误差0.25%，5式的最大误差为0.18 %。

因此可以根据掺杂情况，应用这两个拟合公式，确定S参数的大小，再应用Miller公式进一步明确外加电压与碰撞电离率之间的关系。

图2 拟合曲线与真实曲线的比较

不同掺杂浓度下的S和V_B的确定还可以用于计算开基区晶体管的正向阻断电压。

由于开基区晶体管击穿条件为αM = 1，因此

其中S和VB可以根据浓度应用拟合公式得到，α的定量计算超出本文的讨论范围。因此V_FB就可以计算出来。

本文阐述了雪崩击穿电压与轻掺杂区浓度变化的关系，对碰撞电离率积分与外加偏压的关系和Miller公式中S参数与轻掺杂区浓度的关系应用MATLAB进行了拟合，得到了近似的I-V表达式，S-N表达式，并对这些表达式进行了准确性的验证。

这种关系的确定，对分析开基区晶体管或晶闸管（如Shockley二极管）的正向阻断电压时有一定的借鉴意义。

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