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[专]电荷为何自发产生——第一弹
橘子说IGBT | 2019-12-05 09:24:21    阅读:1845   发布文章

前面论述了电荷在半导体中的运动机制,即电流。

那么半导体中的电荷从何而来,又到哪里去呢?

我们可以将其理解为某个特定部落的人口问题,在这个部落,人口统计只计算单身人口,夫妻不计入统计范围内。某天突然多出了几个人,那么这几个人的来历只可能有两种,一是外来人口(假设都是单身),二是内部降生新生儿。同理于电荷:要么由外部流入,要么由内部产生。

那么电荷的归宿也只有两种,要么内部复合消失(成为夫妻,不计入统计范围),要么流出到外部(外出)。我们用下图模型表示。


1.JPG


暂不考虑其他因素计算电荷变化率。

电荷变化率能帮助我们了解特定空间内电荷的产生和消失状况。电荷(以电子为例)的流入和流出就是电流,那么电流在一维X方向所引起的电荷变化率为:

2.JPG

其中,dn∙dx为在dx范围内的电荷变化,单位时间的电荷变化为电荷变化率。

Jn(x)为流入电流,Jn(x+dx)为流出电流。电流密度的定义是单位时间通过单位面积的电荷总量,所以电流密度除以电荷单位就是单位时间内变化的电荷数量。

对于绝对理想的半导体模型而言,上式是成立的(即仅计算外部流入人口和流出人口),但实际上半导体内部因为本征激发会自发地产生自有电荷(新生儿的诞生),同时因为材料中的杂质、缺陷等,自由电荷也会有寿命,即“复合”(联姻),所以上述公式并不能用于表征实际半导体内部的电荷变化情况。

既然出现了不确定因素,那我们就需要搞清楚这个不确定因素是如何出现的,即电荷为何会自发产生,又为何为自发复合。

➤首先来看为什么会电荷会自发地产生。

若要严谨地推导电荷产生的过程,需要固体物理和量子力学的基本知识,严格求解薛定谔方程,过程会比较晦涩,教科书上都能找到详细推导过程。但若完全脱离这些基础,又难以讲清来龙去脉。这里尝试将其、中比较关键的物理概念以及他们的逻辑关系提炼出来,以便读者理解。

基本逻辑是:自由空间的电子→周期空间的电子→能带(导带&价带)→费米分布→电子态密度→电子浓度,此次先讲自由空间的电子和周期空间的电子

首先,微观粒子具有波粒二象性,这是大家熟知的,因此电子的运动状态可以用波函数来表示。

我们想象在一维空间中(只有x方向)有两种处于不同环境的电子,一是处于自由空间的电子,传输过程中没有任何边界;二是处于周期排布空间的电子(晶体材料的原子都是周期排布)。

由于测不准原理(位置和速度不能同时为确定值),两种环境中的电子在某个x位置只能以存在概率来表达,那么自由空间和周期排布空间的电子的存在概率分别如何呢?

①对于自由空间中的电子,其电子波函数表达式为:

3.JPG

其中,4.JPG,物理名称为“波矢”,也就是代表了电子波函数的传播方向,λ为电子波函数的波长。

5.JPG用以表示电子出现在x位置的概率,6.JPG

,A为振幅。对于自由空间的电子波函数,A为常数,所以电子在自由空间中各个位置出现的概率相同,也就是说电子在自由空间可以自由运动。

7.jpg

②对于处于周期排布空间的电子,假设周期为a, an=n∙a,那么其波函数也相应为周期性,可表达为:

8.JPG

注意,电子在每个周期a内的波函数5.JPG调制,而A(x)不是常数,所以电子在一个周期内各位置出现的概率不同,但电子在不同周期之间的相对位置却是重复的。

将x=x+an带入,我们发现周期性电子波函数成立的必要条件是11.JPG

12.JPG

对比自由空间电荷的波矢k和周期性空间的波矢kn,可以发现,周期性空间导致波矢出现了离散化。(需要注意的是,两种空间的波矢k物理意义有所不同,前者表示的单个电子波函数,而后者描述的是一个周期内的波函数)。

由于k的离散化,电子的能量随k的变化也会发生离散化。量子力学对微观粒子的能量表达式为:

13.JPG

其中14.JPGh为普朗克常数。(将ϕ(x)表达式代入薛定谔方程就可得出,在此不做赘述)。因此自由电子能量E与波矢k成抛物线关系,是连续分布的,如下图所示。

15.JPG

而将抛物线的k坐标离散化kn,就会将连续E曲线离散为能级,且能级在每个周期内聚集,周期交接处会出现间隙,如下图所示。


16.JPG

半导体物理中就将聚集的能级称为能带,即电子可以存在的地方;而周期交接处的间隙称为禁带,即电子不能存在的地方。

文末总结

1.理想状态下电流在一维X方向所引起的电荷变化率:

1575509029861562.jpg

2.非理想状态下,存在电荷自发产生和自发复合的现象,因此提出“电荷为何会自发产生”的问题。

3.解答问题的第一步:分析自由空间和周期排布空间的电子的存在概率。

4.得到结论:自由空间中电子在各个位置出现的概率相同周期排布空间中电子在一个周期内各位置出现的概率不同,但在不同周期之间的相对位置相同。

5.通过对比自由空间电荷的波矢k和周期性空间的波矢kn,发现周期空间内电子的能量随k的变化发生离散化,进而引出能带和禁带的基本概念。

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