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【专】微观电流——扩散电流
橘子说IGBT | 2019-11-28 10:06:46    阅读:105   发布文章

一、电流与速度

了解完电场作用下的漂移电流,接下来我们讲解热运动导致的扩散电流。

热运动的最小自由空间为一个平均自由程,即一个粒子通过热运动与相邻粒子相碰撞的平均距离假设在温度T下,半导体中电子的平均自由程为l,热运动平均速度为vth,热运动通过一个平均自由程所需时间为0.JPG

在一维情况下,假设沿x方向的电子浓度分布为n(x)。如图所示“0”点所示位置,其距离最近的邻近电子分别位于l和-l处,相应的电子浓度分别表示为n(l)和n(-l)。根据平均自由程的定义不难理解,最先可能扩散到“0”位置的电子就处于这两个位置。


1.JPG


根据电流密度定义,要获知“0”点的电流,就要计算左右两侧n(l)和n(-l)分别在t时间内通过“0”点的电荷总量

以-l位置的n(-l)个电子为例,在一维状况下,这些电子热运动往左或者往右的概率相同,均为2.JPG。所以,在单位时间内通过“0”点的电荷数量1574906159375617.jpg,相应产生电流为:

4.JPG

(设电流以x方向为正,添加“-”的原因是电子电流方向与运动方向相反)同理,对于l位置的n(l)个电子在“0”点产生的电流为:

5.JPG

n(l) 和n(-l)在“0”点产生的总电流为:

6.JPG

这样,我们就能得到电流J与速度v之间的关系。


二、电流、速度和浓度梯度


进一步地,我们想要梳理清楚电流、速度和浓度梯度之间的关系。

一维浓度梯度的表达方式为浓度n(x)在x方向上的微分,即7.JPG根据Jn(0)的表达式,只需梳理[n(l)-n(-l)]8.JPG之间的关系。

这里可以用到Taylor展开,简单解释如下(想直接看推导结果的伙伴可以跳到结果):

如果一个函数f(x)在9.JPG区间具有n阶导数fn(x),且已知在1574906304219638.jpg点的值f(x0),那么f(x)可以展开为多项式之和:

11.JPG其中,Rn(x)是余项,即误差项,是(x-x0)n的高阶无穷小。具体推导这里不做赘述,简言之就是可以将任一可求导的函数展开为一个多项式之和,基本规律是x距离x0越近,那么可取的多项式指数也可以越小,误差也越小(极限情况就是取x=x0,上式就变成f(x)f(x0)。

回到扩散电流的推导,因为平均自由程显然是一个微小量(通常为数埃到数百埃,显然半导体中杂质、缺陷越小,平均自由程越大),利用Taylor展开式,可以将n(l)在x=0处展开为:

12.JPG在假设l是一个足够小的量的情况下,忽略上式中二次方及以上的多项表达式以及误差项,近似得到:

13.JPG

同理:

14.JPG

由此我们得到[n(l)-n(-l)]8.JPG之间的关系。

结合前面的电流密度推结论1574906477774997.jpg,从而得到:

17.JPG

扩展到所有x,有:

18.JPG


定义电子扩散系数19.JPG,就得到大家常见的电子扩散电流方程:

20.JPG

同理,可得到空穴扩散电流方程:

21.JPG

从而,扩散总电流为:

22.JPG

注意:

1.此处在扩散电流的表达式中采用了“约等于”的符号,而绝大多数文献中是直接为等号。从推导过程中,大家容易发现Taylor展开中是作了近似处理。需要知道的是:当半导体晶体质量越高、掺杂浓度越低,这个表达式的精确度也就越差,就需要引入更高阶的多项式来减小误差。

2.扩散电流中的速度是Vth一个统计值,也就是说与漂移电流不同的是,扩散电流等式不适用于单个电荷等不具有统计意义的对象。

至此,我们已分别推导得到漂移电流和扩散电流的表达式,那么半导体中的电荷移动所产生的总电流即为两者之和,即:

23.JPG

请注意,自此之后,对于上式的使用,我们不再采用“24.JPG”,也就是默认平均自由程足够小,Taylor展开的一阶表达式精度已经足够。

其中,1574906646771067.jpg, 1574906657846621.jpg分别为电子和空穴在电场作用下的漂移速度;1574906668353958.jpg1574906677373793.jpg分别为电子和空穴在存在浓度梯度情况下的扩散速度。

由此,我们达到了本章开篇所述之目的——“梳理清楚了速度与浓度梯度以及电场的关系,自然也就梳理楚了扩散运动以及漂移运动分别形成的电流,而两者之和就是总的电流”。

文末总结

1、在一维情况下,电流J与速度v之间的关系:

29.JPG

2、电流J、速v和浓度梯度30.JPG之间的关系:

31.JPG

3、半导体中的电荷移动所产生的总电流:

32.JPG

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